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      2013中考數學每日一題(十五)(附答案)

      所屬專題:2013中考試題及答案搶鮮看  來源:滬江中學學科網    要點:中考數學題  
      編輯點評: 數學是中考的難點和重點,滬江中學學科網的2013年中考數學每日一題為參加中考的同學每天準備一道數學壓軸題,壓軸題的訓練可以復習到多個相互關聯的知識點,并且鍛煉數學邏輯思維能力。

      如圖1,把兩個全等的Rt△AOB和Rt△COD方別置于平面直角坐標系中,使直角邊OB、OD在x軸上,已知點A(1,2),過A、C兩點的直線分別交x軸、y軸于點E、F,拋物線y=ax²+2x+c經過O、A、C三點。


      (1)求該拋物線的函數解析式。
      (2)點P為線段OC上的一個動點,過點P作y軸的平行線交拋物線于點M,交x軸于點N。問是否存在這樣的點P,使得四邊形ABPM為等腰梯形?若存在,求出此時點P的坐標。若不存在,請說明理由。
      (3)若△AOB沿AC方向平移(點A始終在線段AC上,且不與點C重合),△AOB在平移的過程中與△COD重疊部分的面積記為S,試探究S是否存在最大值?若存在,求出這個最大值。若不存在,請說明理由。

      思路點撥:

      1、如果四邊形ABPM是等腰梯形,那么AB為較長的底邊,這個等腰梯形可以分割為一個矩形和兩個全等的直角三角形,AB邊分成的3小段,兩側的線段長線段。
      2、△AOB與△COD重疊部分的形狀是四邊形EFGH,可以通過割補得到,即△OFG減去△OEH。
      3、求△OEH的面積時,如果構造底邊OH上的高EK,那么Rt△EHK的直角邊的比為1∶2。
      4、設點A′移動的水平距離為m,那么所有的直角三角形的直角邊都可以用m表示。 

      考點伸展:

      第(3)題也可以這樣來解:設點A′的橫坐標為a。
      由直線AC:y=-x+3,可得A′(a,-a+3)。

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